函数的性质
一、 重点知识及常用结论
函数的基本性质:单调性、奇偶性、周期性
(1)函数单调性性质:增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减.
(2)若一个奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;若一个函数y=f(x)既是
奇函数又是偶函数,则f(x)=0.
(3)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数,之积(商)为偶函数.一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数.
(4)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|).
(5)若f(x+T)=-f(x),f(x+T)=(T>0)等,则f(x)的最小正周期为2T.
二、 典型例题及易错题型
函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的三大性质,也是高考常考的热点内容.涉及单调性的常见题型:求函数的单调区间,判断函数的单调性,根据函数的单调性求参数的取值范围、利用函数的单调性求函数的值域及最值(恒成立)问题、利用单调性比较大小等,函数的奇偶性和周期性主要体现在转化功能上,利用奇偶性和周期性求函数的值以及将它们结合在一起与函数图像、函数的零点等问题进行交汇.
例1　(四川乐山一模)设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则实数a=　　　　. 
答案:-　解法1:函数f(x)=(x+1)(2x+3a)=2x2+(3a+2)x+3a.因为函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,所以2x2-(3a+2)x+3a=2x2+(3a+2)x+3a,所以3a+2=0,所以a=-.
解法2:由f(-1)=0可知f(1)=0,即2(2+3a)=0,所以a=-.
　　方法突破:由函数的奇偶性求参数的值时,通常有两种方法:一是利用函数奇偶性的定义来得到相关的恒等式,从而求出参数的值;二是通过特殊化来得到关于参数的等式,从而求出参数的值.不过,特殊化时,要注意所取的值应该在函数的定义域内.
 
例2　(湖南师大附中月考)已知函数f(x)=ln(|x|+1)+,则使得f(x)>f(2x-1)的x的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 
A. B. ∪(1,+∞)
C. (1,+∞) D. 
答案:A　解析:易知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1)+是增函数,所以使得f(x)>f(2x-1)成立的x满足-x<2x-1<x,即得<x<1,故选A.
　　方法突破:(1)本题引用了偶函数的一个非常重要的性质来解抽象不等式,即f(x)=f(|x|),转化为同一个单调区间,然后利用单调性解不等式.(2)函数奇偶性和单调性的相关关系,奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性,偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性。