一次函数
知识回放
名师精讲
考点一 根据正比例的定义求函数表达式
例1 (泰州市高港区期末)已知y与x＋1成正比例，且当x＝1时，y＝6.
(1) 求表达式；
(2) 求当x＝－3时，y的值．
解析：(1)根据题意设出函数表达式，把当x＝1时，y＝6代入表达式，便可求出未知数的值，从而求出其表达式；(2)把x＝－3代入可得出y的值．
解：(1) 由题意可得y＝k(x＋1)(k≠0)．把当x＝1时，y＝6代入，得6＝k(1＋1)，解得k＝3，故一次函数的表达式为y＝3x＋3.
(2) 把x＝－3代入，得y＝3×(－3)＋3＝－6.
点评：解答这类问题的基本思路是首先根据正比例的定义设出表达式，再根据条件求出待定系数，本题常见错误是设函数表达式为y＝kx，即误认为y与x成正比例．
考点二 点在图像上的相关问题
例2 (南京市雨花区期末)点(m，n)在函数y＝2x＋1的图像上，则2m－n的值是( )
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
解析：因为点(m，n)在函数y＝2x＋1的图像上，所以有n＝2m＋1，即2m－n＝－1，故选D.
答案：D
点评：点坐标在某一函数图像上，则这点满足表达式，反之也成立
考点三 根据图像确定系数的正负
例3 (无锡市江阴市期末)已知一次函数y＝mx＋n－2的图像如图1所示，则m、n的取值范围是( )
图1
A. m＞0，n＜2 B. m＞0，n＞2
C. m＜0，n＜2 D. m＜0，n＞2
解析：先根据一次函数的图像经过第二、四象限可知m＜0，再根据函数图像与y轴交于正半轴可知n－2＞0，进而可得出结论．
答案：D
点评：直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．当k＞0时，直线必经过一、三象限；当k＜0时，直线必经过二、四象限．当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；当b＝0时，直线过原点；当b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
考点四 一次函数的图像与几何变换
例4 (盐城市大丰市期末)(1) 求直线y＝2x－4向上平移2个单位所得的直线的函数表达式；
(2) 求直线y＝2x－4向左平移4个单位所得的直线的函数表达式；
(3) 求直线y＝2x－4关于直线y＝－x轴对称的直线的函数表达式．
解析：(1)平移不改变k的值．向上平移2个单位时，将原直线的函数表达式的常数项加2即可；
(2)平移不改变k的值，设出相应的直线的函数表达式，从原直线的函数表达式上找一个点，然后找到向左平移4个单位得到的点，代入设出的直线的函数表达式，即可求得b，也就求得了所求的直线的函数表达式；
(3)从原直线上找两点，进而找到关于直线y＝－x对称的点，代入直线的函数表达式即可求解．
解：(1) 因为向上平移2个单位，所以新函数的k＝2，b＝－4＋2＝－2，所以得到的直线所对应的函数表达式是y＝2x－2.
(2) 因为是平移得到，所以可设新直线的函数表达式为y＝2x＋b.因为原直线经过点(0，－4)，所以向左平移4个单位得到的点为(－4，－4)，代入新直线的函数表达式得b＝4，所以新直线的函数表达式为y＝2x＋4.
(3) 原直线上的两点为(0，－4)、(2,0)，关于y＝－x的对称点为(4,0)、(0，－2)，设新直线表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则4k＋b＝0，b＝－2，解得k＝2，所以新直线的函数表达式为y＝2x－2.
点评：一次函数y＝kx＋b的图像是由正比例函数y＝kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的一条直线．由正比例函数y＝kx的图像沿x轴向左平移m(m>0)个单位，得到的一次函数表达式为y＝k(x＋m)＝kx＋km；沿x轴向右平移m(m>0)个单位，得到的一次函数表达式为y＝k(x－m)＝kx－km.这个规则可简单概括为“上加下减外，左加右减内”．
考点五 待定系数法求一次函数的表达式
例5 (盐城市期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1,3)和(3,1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．
(1) 求直线l的函数表达式；
(2) 求△AOB的面积．
图2
解析：(1) 把两点坐标代入函数表达式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数表达式；(2) 求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．
点评：确定一次函数表达式的一般步骤：(1)设函数表达式为y＝kx＋b；(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组)；(3)求出k与b的值，得到函数表达式．
考点六 一次函数与二元一次方程组
图3
答案：A
点评：本题考查利用图像法求二元一次方程组的解，关键是理解二元一次方程组的解的几何意义．二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成，而每个一次方程的图像都是一条直线，两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．
考点七 一次函数与一元一次不等式
名师精讲
考点一 根据正比例的定义求函数表达式
例1 (泰州市高港区期末)已知y与x＋1成正比例，且当x＝1时，y＝6.
(1) 求表达式；
(2) 求当x＝－3时，y的值．
解析：(1)根据题意设出函数表达式，把当x＝1时，y＝6代入表达式，便可求出未知数的值，从而求出其表达式；(2)把x＝－3代入可得出y的值．
解：(1) 由题意可得y＝k(x＋1)(k≠0)．把当x＝1时，y＝6代入，得6＝k(1＋1)，解得k＝3，故一次函数的表达式为y＝3x＋3.
(2) 把x＝－3代入，得y＝3×(－3)＋3＝－6.
点评：解答这类问题的基本思路是首先根据正比例的定义设出表达式，再根据条件求出待定系数，本题常见错误是设函数表达式为y＝kx，即误认为y与x成正比例．
考点二 点在图像上的相关问题
例2 (南京市雨花区期末)点(m，n)在函数y＝2x＋1的图像上，则2m－n的值是( )
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
解析：因为点(m，n)在函数y＝2x＋1的图像上，所以有n＝2m＋1，即2m－n＝－1，故选D.
答案：D
点评：点坐标在某一函数图像上，则这点满足表达式，反之也成立
考点三 根据图像确定系数的正负
例3 (无锡市江阴市期末)已知一次函数y＝mx＋n－2的图像如图1所示，则m、n的取值范围是( )
图1A. m＞0，n＜2 B. m＞0，n＞2
C. m＜0，n＜2 D. m＜0，n＞2
解析：先根据一次函数的图像经过第二、四象限可知m＜0，再根据函数图像与y轴交于正半轴可知n－2＞0，进而可得出结论．
答案：D
点评：直线y＝kx＋b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．当k＞0时，直线必经过一、三象限；当k＜0时，直线必经过二、四象限．当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；当b＝0时，直线过原点；当b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
考点四 一次函数的图像与几何变换
例4 (盐城市大丰市期末)(1) 求直线y＝2x－4向上平移2个单位所得的直线的函数表达式；
(2) 求直线y＝2x－4向左平移4个单位所得的直线的函数表达式；
(3) 求直线y＝2x－4关于直线y＝－x轴对称的直线的函数表达式．
解析：(1)平移不改变k的值．向上平移2个单位时，将原直线的函数表达式的常数项加2即可；
(2)平移不改变k的值，设出相应的直线的函数表达式，从原直线的函数表达式上找一个点，然后找到向左平移4个单位得到的点，代入设出的直线的函数表达式，即可求得b，也就求得了所求的直线的函数表达式；
(3)从原直线上找两点，进而找到关于直线y＝－x对称的点，代入直线的函数表达式即可求解．
解：(1) 因为向上平移2个单位，所以新函数的k＝2，b＝－4＋2＝－2，所以得到的直线所对应的函数表达式是y＝2x－2.
(2) 因为是平移得到，所以可设新直线的函数表达式为y＝2x＋b.因为原直线经过点(0，－4)，所以向左平移4个单位得到的点为(－4，－4)，代入新直线的函数表达式得b＝4，所以新直线的函数表达式为y＝2x＋4.
(3) 原直线上的两点为(0，－4)、(2,0)，关于y＝－x的对称点为(4,0)、(0，－2)，设新直线表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则4k＋b＝0，b＝－2，解得k＝2，所以新直线的函数表达式为y＝2x－2.
点评：一次函数y＝kx＋b的图像是由正比例函数y＝kx的图像沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的一条直线．由正比例函数y＝kx的图像沿x轴向左平移m(m>0)个单位，得到的一次函数表达式为y＝k(x＋m)＝kx＋km；沿x轴向右平移m(m>0)个单位，得到的一次函数表达式为y＝k(x－m)＝kx－km.这个规则可简单概括为“上加下减外，左加右减内”．
考点五 待定系数法求一次函数的表达式
例5 (盐城市期末)在平面直角坐标系xOy中，直线l过(1,3)和(3,1)两点，且与x轴，y轴分别交于A、B两点．
(1) 求直线l的函数表达式；
(2) 求△AOB的面积．
图2解析：(1) 把两点坐标代入函数表达式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数表达式；(2) 求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．
点评：确定一次函数表达式的一般步骤：(1)设函数表达式为y＝kx＋b；(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组)；(3)求出k与b的值，得到函数表达式．
考点六 一次函数与二元一次方程组
图3答案：A
点评：本题考查利用图像法求二元一次方程组的解，关键是理解二元一次方程组的解的几何意义．二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成，而每个一次方程的图像都是一条直线，两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．
考点七 一次函数与一元一次不等式
例7 (南京市秦淮区期末)如图4，函数y＝2x和y＝ax＋4的图像相交于点A(m,3)，则不等式2x<ax＋4的解集为( )
图4
答案：A
点评：解答这类问题一般有两种思路：一种是将问题当成不等式来解，另一种思路是根据一次函数图像，结合图像的性质求解．在实际应用中应根据问题的特征选择合适的方法．
考点八 一次函数的实际应用
例8 (苏州市平江区期末)某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图5，线段l1，l2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(km)随时间x(min)变化的函数图像．根据图像，解答下列问题：
(1) 分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
(2) 求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学．
图5解析：本题有两种思路：一种是根据一次函数知识，用待定系数法求出表达式；另一种思路是根据问题的实际意义来解．
解法一：利用图像可以读出函数的点的坐标，再利用待定系数法：
点评：处理这类问题通常有两种方法：一种是根据函数的有关性质解决问题，另外一种思路是根据问题的实际意义构建数学模型解决问题．本例中给出了这两种不同的思路，在解答这类问题时可以根据情况选用．
临门一脚
一次函数这一章是每年中考考查的重点，关键是正确理解一次函数的性质，要正确理解一次函数的系数与图像之间的关系，加强数形结合思想的运用，求一次函数表达式的基本方法是待定系数法．一次函数的实际应用也是中考考查的重点，关键是能正确理解图像中的信息，再结合一次函数的相关知识解答．
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