平面直角坐标系
知识回放

名师精讲
考点一 象限内点的坐标特征　

例1　(南京市鼓楼区期末)如果点P(a，b)在第三象限，那么点Q(－a，b－1)所在的象限是(　　)
A. 第一象限  B. 第二象限  
C. 第三象限  D. 第四象限
解析：点(a，b)在第三象限，则a＜0，b＜0，所以－a＞0，b－1＜0，所以点Q(－a，b－1)在第四象限．故选D.
答案：D
点评：解答这类问题的一般思路是根据点的坐标的正负，结合象限内的点的符号特点作出判断．
考点二 求点关于坐标轴(或原点)对称点的坐标　
 
例2　(常州市天宁区期末)点P(－2,1)关于x轴的对称点的坐标为(　　)
A. (2,1)  B. (－2，－1)  
C. (2，－1)  D. (1，－2)
解析：根据关于x轴对称的点的特点知选B.
答案：B
点评：坐标系内的对称点问题要注意关于x轴对称与关于y轴对称，不要混淆．

考点三　平面内图形的平移　
 
例3　(苏州市太仓市期末)已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1,4)的对应点为点C(4,7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为(　　)
A. (1,2)  B. (2,9)  
C. (5,3)  D. (－9，－4)
解析：因为点A(－1,4)的对应点为C(4,7)，所以平移规律为向右5个单位，向上3个单位．因为点B(－4，－1)，所以点D的坐标为(1,2)．故选A.
答案：A
点评：线段的平移可以归结为点的平移，解答这类问题的一般方式是通过一对已知的对应点确定平移方式，进而确定另一点平移后的点坐标．在平面直角坐标系中，图形向右(左)平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上(或减去)m个单位(m＞0)；图形向上(下)平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上(或减去)n个单位(n＞0)．
考点四 根据坐标确定点的位置　
 
例4　(泰州市兴化市期末)如图1，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(－2，－3)，“马”位于点(1，－3)．
(1) 画出所建立的平面直角坐标系；
(2) 分别写出“兵”和“炮”两点位于你所建立的平面直角坐标系的坐标．
解析：首先根据已知点的坐标确定原点的位置建立坐标系，再根据坐标系确定另外两个点的坐标．
解：(1) 因为在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(－2，－3)，“马”位于点(1，－3)，可得出原点的位置，即可建立直角坐标系如图所示．
图1
 
 
(2) 兵(－4,0)；炮(－1，－1)．
点评：解答这类问题的一般步骤是首先根据已知点的坐标确定坐标原点的位置和x轴、y轴的位置，进而确定所要求的点的坐标．
考点五 平行于坐标轴的点的特点　

例5　(泰州市兴化市期末)已知点M(3，－2)与点M′(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是(　　)
A. (4,2)或(－4,2)  B. (4，－2)或(－4，－2)
C. (4，－2)或(－5，－2)  D．(4，－2)或(－1，－2)
解析： 因为点M(3，－2)与点M′(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，所以点M′的纵坐标y＝－2.因为点M′到y轴的距离等于4，所以点M′的横坐标为4或－4.所以点M′的坐标为(4，－2)或(－4，－2)，故选B.
答案：B
点评：解答这一问题关键是抓住平行于坐标轴的点的特点：平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同．
考点六 探究规律　
 
例6　(盐城市大丰市期末)如图2，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…，按这样的运动规律，经过第2 015次运动后，动点P的坐标是________．
图2
 
 
解析：从点的坐标可以看出横坐标正好是运动的次数，所以第2 015次运动后点的横坐标就是2 015.纵坐标的数是1,0,2,0,1,0,2,0……四个一循环，所以2 015÷4＝503……3，因此第2 015次点的纵坐标是2，故点P的坐标为(2 015,2)．
答案：(2 015,2)
点评：坐标系中的点的坐标的规律探索题由于其关系横坐标、纵坐标的变化，难度比一般的规律探索题要大，处理的一般方法是将其分开考虑，即先考虑横坐标的规律，再考虑纵坐标的变化规律．
考点七 坐标系中的面积　
 
例7　(泰州市泰兴市期末)如图3，在平面直角坐标系中，分别写出△ABC的顶点坐标，并求出△ABC的面积．
图3
 
 
解：由图知，△ABC的顶点坐标分别是A(2,3)、B(－2，－1)、C(1，－3)，

点评：由图形中一些点的坐标求面积通常采用割补法，过已知点向坐标轴作垂线，将图形分割成若干个可计算的三角形或四边形，或者补成一个四边形，再减去一些三角形，然后结合坐标求出图形的面积．
临门一脚
平面直角坐标系这一章是学习函数的基础，学习这一章重点是注意数形结合思想的运用，即解答坐标系有关问题时要多画草图，即结合坐标系来解答，同时要关注点的坐标与距离的关系，点的坐标的平移、对称等相关性质的理解．